【GESP】C++七级考试大纲知识点梳理, (1) 数学库常用函数
GESP C++七级考试大纲中共有4条考点，第1条考点要求我们熟练掌握数学库中的常用函数。在解决复杂的算法问题（如几何计算、概率统计、数值模拟）时，这些“轮子”能帮我们省去大量的造车时间。
（1）掌握数学库常用函数（三角、对数、指数），三角函数包括 sin(x)，cos(x)等； 对数函数包括 log10(x)：返回 x 以 10 为底的对数，log2(x)：返回 x 以 2 为底的对数； 指数函数包括 exp(x)：计算指数函数，返回 x 的以 e 为底的指数函数。
本人也是边学、边实验、边总结，且对考纲深度和广度的把握属于个人理解。因此本文更多的不是一个教程，而是个人知识梳理，如有遗漏、疏忽，欢迎指正、交流。
在使用这些函数之前，别忘了引入头文件：
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#include <cmath>
// 或者万能头文件
#include <bits/stdc++.h>
⚠️ 注意：
<cmath>中的函数参数和返回值通常都是double类型（浮点数）。在涉及整数运算时要小心精度丢失问题，或者显式进行类型转换。
一、三角函数 (Trigonometric Functions)
三角函数是几何计算的基础。在 C++ 中，最需要注意的一点是：所有三角函数的参数都是“弧度制” (Radians)，而不是“角度制” (Degrees)。
1.1 常用函数表
| 函数 | 描述 | 数学公式 |
|---|---|---|
sin(x) | 正弦函数 | $\sin(x)$ |
cos(x) | 余弦函数 | $\cos(x)$ |
tan(x) | 正切函数 | $\tan(x)$ |
asin(x) | 反正弦函数，返回弧度 | $\arcsin(x)$ |
acos(x) | 反余弦函数，返回弧度 | $\arccos(x)$ |
atan(x) | 反正切函数，返回弧度 | $\arctan(x)$ |
1.2 角度与弧度的转换
考试中给出的题目往往是角度（例如 30°, 90°），直接传给 C++ 的 sin(30) 是错的！必须先转为弧度。
公式： \(\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}\) \(\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}\)
$\pi$ (Pi) 的获取： 建议使用
acos(-1.0)来获取高精度的 $\pi$ 值。
1.3 代码示例
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#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip> // 用于 setprecision
using namespace std;
int main() {
double pi = acos(-1.0); // 获取 pi
double angle = 60.0; // 60度
// 错误示范：直接传角度
cout << "sin(60) = " << sin(angle) << " (这是错的！)" << endl;
// 正确示范：转弧度
double radian = angle * (pi / 180.0);
cout << "sin(60°) = " << sin(radian) << endl; // 应该是 0.866...
cout << "cos(60°) = " << cos(radian) << endl; // 应该是 0.5
return 0;
}
二、对数函数 (Logarithmic Functions)
对数在算法复杂度分析（如 $O(\log n)$）和处理大数运算时非常有用。
2.1 常用函数表
| 函数 | 描述 | 数学公式 | 备注 |
|---|---|---|---|
log(x) | 自然对数，底数为 $e$ | $\ln(x)$ 或 $\log_e(x)$ | 注意不是 $\log_{10}$ |
log10(x) | 常用对数，底数为 10 | $\lg(x)$ 或 $\log_{10}(x)$ | 考纲重点 |
log2(x) | 二进制对数，底数为 2 | $\log_2(x)$ | 考纲重点，常用于计算完全二叉树高度 |
💡 小贴士：如果需要计算任意底数 $a$ 的对数 $\log_a(b)$，可以使用换底公式： \(\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \quad \Rightarrow \quad \text{code: } \texttt{log(b) / log(a)}\)
2.2 代码示例
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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
double x = 100.0;
cout << "log10(100) = " << log10(x) << endl; // 输出 2
cout << "log2(8) = " << log2(8.0) << endl; // 输出 3
cout << "ln(e) = " << log(exp(1.0)) << endl; // 输出 1 (ln e = 1)
return 0;
}
三、指数函数 (Exponential Functions)
指数函数与对数函数互为逆运算，常用于计算幂次、根号等。
3.1 常用函数表
| 函数 | 描述 | 数学公式 |
|---|---|---|
exp(x) | 计算 $e$ 的 $x$ 次方 | $e^x$ |
pow(x, y) | 计算 $x$ 的 $y$ 次方 | $x^y$ |
sqrt(x) | 计算 $x$ 的平方根 | $\sqrt{x}$ |
3.2 代码示例
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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
// 1. exp(x)
cout << "e^1 = " << exp(1.0) << endl; // e 的近似值 2.71828...
// 2. pow(x, y) - 极其常用
cout << "2^10 = " << pow(2, 10) << endl; // 1024
cout << "3^3 = " << pow(3, 3) << endl; // 27
// 3. sqrt(x)
cout << "sqrt(16) = " << sqrt(16) << endl; // 4
// 勾股定理示例: c = sqrt(a^2 + b^2)
double a = 3.0, b = 4.0;
double c = sqrt(pow(a, 2) + pow(b, 2));
cout << "勾股数 3, 4 的斜边是: " << c << endl; // 5
return 0;
}
四、备考总结 & 易错点
对于 GESP 七级考生，掌握这些函数的使用只是第一步，更重要的是在实际题目中灵活运用。
- 类型陷阱：如果不小心把整数传给某些数学函数，可能会发生隐式转换。虽然现代编译器很聪明，但建议养成操作
double的习惯。尤其是pow函数，计算整数次幂时，如果是很大的整数，建议自己写快速幂算法，因为double类型的pow可能会有精度误差导致WA（例如pow(5, 2)算出24.999999，转 int 变成 24）。 - 定义域错误：
sqrt(x)中 $x$ 不能为负数。log(x)中 $x$ 必须大于 0。asin(x)/acos(x)中 $x$ 必须在 $[-1, 1]$ 之间。- 这些错误通常会导致程序返回
NaN(Not a Number) 或运行时错误。
- $\pi$ 的写法：
acos(-1.0)是最稳健的写法，不要手打3.1415926，容易抄错且精度不够。
掌握了这些数学工具，你就在通往高级算法（如计算几何）的路上迈出了坚实的一步！
所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code
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